偏微分方程的階與線性

在你指望解一個偏微分方程之前，先用兩個粗略的標籤給它歸類，它們就已經告訴了你大半的預期：它的階，以及它是否線性。階就是方程裡出現的最高階導數。線性問的是：未知函數及其導數是否只以簡單、可相加的方式出現，還是被彼此相乘、被平方、或被送進非線性函數。這兩個問題是行家面對一個新方程時首先要問的。

階是任何單獨一項中所取導數的最大總次數：熱方程、波動方程與拉普拉斯方程都是二階的，因為它們的最高項是二階導數。當未知量 u 及其所有導數都只以一次方出現、且彼此從不相乘時，偏微分方程是線性的——示意地寫，就是若干個（係數）乘以（u 的某個導數）之和，其中係數至多依賴於自變數，再加上一個完全不含 u 的項（源項）。若這些係數不含 u，就是線性的；若係數依賴於 u 或其較低階導數，就是擬線性的；若最高階導數本身以非線性方式進入，就是完全非線性的。線性偏微分方程在源項為零時是齊次的，否則是非齊次的。

這種分類之所以重要，是因為線性正是讓問題可解的關鍵。對線性偏微分方程，疊加原理成立：解的任意和仍是解，於是你能用簡單解相加搭出複雜的答案——這正是分離變量法與傅立葉展開所利用的。相比之下，非線性偏微分方程可能形成激波、破壞疊加，並普遍抗拒閉式解；著名的未解難題（例如納維-斯托克斯方程的正則性）就活在那裡。知道階就告訴你需要多少邊界條件與初始條件。