四種抽樣模型（有序／無序 × 放回／不放回）

幾乎每個基本計數問題，其實都是四個標準問題之一，由兩個是非判斷決定：「順序」重要嗎？有「放回」嗎？把這兩個問題交叉，就得到一個 2 乘 2 的格子，把整個主題組織起來。一旦你能說出自己的問題落在四格中的哪一格，正確公式就自動浮現。訣竅不是背四條公式，而是學會問這兩個問題。

以下是從 n 個中取 k 個的四格。有序「放回」：k 個位置各自獨立地從 n 個中挑，所以是 n^k（例如從 n 個符號組成的 k 位密碼）。有序「不放回」：位置依序填入而池子縮小，所以是 n!/(n-k)! = P(n,k)（例如獎牌名次）。無序「不放回」：取有序計數再除掉 k! 種排序，所以是 C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)（例如一手撲克牌、一個委員會）。無序「放回」：最微妙的一格，用星號與隔板法計算，得 C(n+k-1, k)（例如允許重複時，從 n 種口味選 k 球有幾種方式）。

兩個簡單的格子都是有序的：直接把選項相乘即可。無序不放回就是有序不放回再去掉 k! 種重排。第四格——無序放回——常絆倒人，因為你「不能」單純把 n^k 除以 k!——不同的多重集有不同的排序數（兩球相同對上兩球不同），所以除得不均，乾淨的答案得改用星號與隔板的論證。先診斷出是哪一格，是基礎計數中最可靠的一個習慣。