二項式係數（n 取 k）
/ by-NOH-mee-ul /
寫作 C(n,k) 或「n 取 k」的這個數，用兩種面貌回答同一個問題。從組合角度看，它是當順序不重要時，從 n 個中挑 k 個的方法數——正是組合計數。從代數角度看，同一個數是你展開 (1 + x)^n 時 x^k 前面的「係數」。「挑子集的方法數」竟然等於「一個代數係數」，這實在驚人，而這個巧合正是通往大量數學的門戶。
公式是 C(n,k) = n! / (k! (n-k)!)，對整數 0 <= k <= n 有定義（k 超出此範圍時取 0）。有兩個性質很好用。第一是對稱性：C(n,k) = C(n, n-k)，因為「挑要拿走的 k 個」和「挑要留下的 n-k 個」是同一件事——C(10,3) = C(10,7)。第二是邊界值 C(n,0) = C(n,n) = 1（什麼都不拿有一種方式，全部拿走有一種方式）。它為何出現在 (1+x)^n 裡？展開就是從 n 個因式各選 1 或選 x；當你恰好從 k 個因式選了 x 時就得到 x^k，而選哪 k 個有 C(n,k) 種方式。
這些數無所不在：它們填滿了巴斯卡三角形、它們「就是」二項式定理裡的係數，而在機率裡它們給出 n 次獨立試驗恰好 k 次成功的機會，P = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)。一整列的和 C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) 等於 2^n——這正說明 n 元集合的子集總數是 2^n，因為每個元素不是在裡面就是在外面。
C(5,2) = 5!/(2!3!) = 10，由對稱性 C(5,3) 也是 10。檢驗子集總數：第 5 列是 1、5、10、10、5、1，相加為 32 = 2^5——也就是 5 元集合所有子集的數目。
C(n,k) 既計算子集數，也是 (1+x)^n 中 x^k 的係數；C(n,k)=C(n,n-k)。
雖然公式在除階乘，C(n,k) 永遠是整數——k! 與 (n-k)! 總能整除 n!。把它當作一個不可分割的量，而非三個分開計算的階乘。