二項分配（binomial distribution）
/ by-NOH-mee-al /
二項分配回答一個你經常會問的問題：如果我把同一個是/否試驗獨立重複 n 次，會得到幾次成功？擲一枚公正硬幣 10 次——幾次正面？用一種有效率 70% 的藥治療 20 位病人——幾位康復？在 55% 支持某議案時調查 100 位選民——幾位說好？成功的計數記作 X，是介於 0 與 n 之間的整數，其分配為 X ~ Binomial(n, p)。
它的機率質量函數是 P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n-k)。把它讀成三段故事。p^k 表示其中 k 次試驗成功，每次機率為 p。(1 - p)^(n-k) 表示另外 n - k 次失敗。而 C(n, k)，即二項式係數「n 取 k」，計數在 n 次試驗中安排 k 次成功有多少種不同次序——因為我們不在乎是哪幾次成功，只在乎成功幾次。把單一種模式的機率乘上模式的種數，就得到總機率。對 k 從 0 到 n 全部相加恰好等於 1，這其實就是喬裝過的二項式定理。期望值為 E[X] = np（n 次試驗每次平均貢獻 p），變異數為 Var(X) = np(1 - p)。
這個模型立基於四個條件，常簡記為：固定的試驗次數、每次兩種結果、固定的成功機率、以及獨立性。任何一條破裂，二項就錯了。最常見的失誤是在從小型有限母體中不放回抽樣時誤用它——那裡 p 會隨抽取而漂移，正確模型是超幾何分配；不過當母體相對於樣本很大時，二項是很好的近似。
一位罰球員命中率 80%。在 5 次出手中，恰好命中 4 球的機率為 C(5, 4) (0.8)^4 (0.2)^1 = 5 乘以 0.4096 乘以 0.2 = 0.4096。平均而言他在 5 球中命中 np = 5 乘以 0.8 = 4 球。
C(n, k) 計數次序；p^k (1 - p)^(n-k) 是單一種次序的機率。
二項需要放回抽樣（或夠大的母體），使 p 維持固定、試驗保持獨立。從小母體不放回抽樣是超幾何，不是二項。