星號與隔板法

如果允許某個小孩拿到零個，把 7 顆相同的糖分給 3 個小孩有幾種方式？或者，同一個問題換個說法，x1 + x2 + x3 = 7 有幾組非負整數解？逐一列舉很痛苦，但一個巧妙的圖像讓它瞬間解決。這個方法叫星號與隔板法，它把問題變成把兩種符號排成一列。

把 7 顆糖畫成一排的 7 個星號。要把它們分給 3 個小孩，插入 2 根隔板：第一根隔板之前的給第 1 個小孩，兩根隔板之間的給第 2 個，第二根之後的給第 3 個。例如，星 星 板 星 板 星 星 星 星 這個排列表示第 1 個小孩拿 2 顆、第 2 個拿 1 顆、第 3 個拿 4 顆。7 個星號與 2 根隔板排成一列的每一種排法，都恰好對應一種分法，反之亦然。所以我們只要算 7 + 2 = 9 個符號的排法，也就是從 9 個位置中選哪 2 個放隔板：C(9,2) = 36。一般而言，把 k 個相同東西分到 n 個盒子（允許空）需要 n-1 根隔板，得 C(n + k - 1, k) = C(n + k - 1, n - 1)。

星號與隔板法正是第四個抽樣格子——無序「放回」選取——的計數，這也是它與四種模型並列的原因。一個常見變化：若每個小孩至少要拿一顆糖，先每人發一顆（用掉 n 顆），再自由分配其餘的，得 C(k - 1, n - 1)。這個方法假設東西相同、盒子可區分；若東西是相異的，那就完全是另一個計數世界了。