基礎：樣本空間、事件與公理
機率的單調性（monotonicity of probability）
單調性說的是：一個較大的事件不可能比包含在它之內的較小事件更不可能發生。若事件 A 是事件 B 的子集——意思是每個使 A 發生的結果也都使 B 發生——那麼 P(A) <= P(B)。它捕捉了一個樸素的想法：一個較容易滿足的條件，至少有同樣好的機會：「丟出 6」蘊含「丟出偶數」，所以丟出 6 不可能比丟出偶數更可能。
它乾淨地由公理推出。若 A 在 B 之內，你可以把 B 拆成兩個互斥的片：屬於 A 的部分，以及 B 中 A 之外剩下的部分，即 B ∩ A^c。由可加性，P(B) = P(A) + P(B ∩ A^c)。既然那塊剩餘機率 P(B ∩ A^c) 是非負的（非負性公理），加上它只能讓 P(B) 維持在 P(A) 之上或相等。同樣一行論證也給出差集規則：每當 A 包含於 B，P(B 且非 A) = P(B) - P(A)。
一對立即的系理讓整個機率刻度變得有界且行為良好。因為每個事件 A 都是整個樣本空間 Omega 的子集，單調性給出 P(A) <= P(Omega) = 1；再結合非負性，這就證明了那條基石事實：每個機率都落在 0 與 1 之間。實務上，單調性也是個合理性檢查：若某次計算交給你一個子事件，其機率竟高於包含它的事件，那你在某處出錯了。
在骰子上，A = {6} 是 B = {2,4,6} 的子集。單調性預測 P(A) <= P(B)，而確實 1/6 <= 3/6。多出的那片是 B ∩ A^c = {2,4}，恰好貢獻 P(B) - P(A) = 3/6 - 1/6 = 2/6。
包含關係強制機率有大小順序——並把每個機率釘進 0 到 1 的範圍。
單調性需要真正的包含關係（A 在 B 之內）；僅僅交疊的兩個事件，它們的機率沒有保證的大小順序。
又稱
另見