柯爾莫哥洛夫機率公理（Kolmogorov's axioms）
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柯爾莫哥洛夫機率公理是三條簡短的規則，由安德雷·柯爾莫哥洛夫於 1933 年確立，精確地釘住了「機率究竟是什麼」。它們不去爭辯機會「真正的意思」，而是說：機率就是任何一種把數 P(A) 指派給每個事件 A、並遵守這三條規則的方式——接著所有熟悉的事實都作為定理隨之而來。這一步把機率從一堆巧妙的技巧，變成了一個乾淨的數學分支。
這三條規則如下。非負性：每個事件得到的機率至少為零，P(A) >= 0，因為機會不可能是負的。正規化：整個樣本空間得到機率一，P(Omega) = 1，編碼了「必有某個結果發生」這份確定。可數可加性：若你有一串兩兩互斥（沒有任兩個交疊）的事件，那麼它們之一發生的機率，就是它們各自機率的總和，即使這串清單是無限長的也成立。這個學科裡的其餘一切——機率介於 0 與 1 之間、補集規則、容斥原理、連續性——都僅僅由這三條推導而來。
令人驚嘆的是這些公理假設得多麼少、卻交付得多麼多。它們並不告訴你某顆特定骰子或硬幣的實際數值是多少——那來自你所提供的模型，無論是憑對稱性、憑資料、還是憑判斷。公理只保證你所指派的任何數值彼此一致地配合在一起。它們對「詮釋」也保持沉默：頻率派與貝氏派都遵守相同的公理，卻對 P(A) 這個數的意義各執己見。公理是共用的規則書；詮釋則是讀它的不同方式。
一顆公正骰子：對每一面指派 P({k}) = 1/6。檢查公理——每個都 >= 0；它們相加為 6 × (1/6) = 1 = P(Omega)；而對 {1} 與 {2} 這類互斥事件，P({1} 或 {2}) = 1/6 + 1/6 = 1/3。這個模型有效，因為它遵守全部三條規則。
公理並不替你挑數字；它們只檢查你所選的任何數字是否彼此一致。
公理界定了機率的文法，卻不界定它的意義；P(A) 在真實世界裡代表什麼，是另一個詮釋的問題，並非由公理所定奪。