容斥原理（inclusion-exclusion principle）

容斥原理修正了人們在求「A 或 B」的機會時自然會犯的錯誤。你可能會猜 P(A 或 B) = P(A) + P(B)，但這把 A 與 B 同時發生的結果重複計算了——它們同時落在兩個集合裡，於是被加了兩次。正確的公式把交疊部分再扣回一次：P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)。想像兩個交疊的圓：把它們的面積相加會把交疊的透鏡形算兩次，所以你移除它的一份。

對三個事件，同樣的修正反覆施行，一個清晰的規律浮現：把所有單一機率加起來，減去每一個成對的交疊，再加回三重交疊。P(A 或 B 或 C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A 且 B) - P(A 且 C) - P(B 且 C) + P(A 且 B 且 C)。這條規則交替進行：納入單個、排除成對、納入三重，對更多事件以此類推，每次修正都在抵消上一步的多算或少算。

當事件互斥時，所有交疊項都是零，容斥原理就塌縮成單純的相加——所以那條簡單的加法規則，不過是這個更一般原理的特例（無交疊的情形）。容斥原理是處理「或」問題和事件確實交疊的「至少一個」計數的主力；當交疊本身變得複雜時，補集規則加上迪摩根定律往往能更短地通向同一個答案。