最大累計損失

看著盈餘線在所有時間裡向上漂移、向下跳落，並問：在整個未來裡，累計損失相對於向上的保費趨勢，最深曾經掘到多低？那個有史以來最糟的缺口——盈餘若只靠保費本會在的位置、與它實際下沉到的位置之間張開的最大空隙——就是最大累計損失。它是決定破產的那個唯一數字：如果你的初始盈餘大於這個最糟缺口，你永不破產；如果更小，你就會破產。

準確地說，最大累計損失 L 是（到目前為止已付賠款減去已收保費）在所有未來時間上的最大值，也就是累計淨流出的歷史最高水位線。從初始盈餘 u 出發的破產，恰恰在 L 超過 u 時發生——最糟的缺口擊穿了你的緩衝。於是無限時間破產機率為 psi(u) = Prob(L > u)，把破產變成了關於單一隨機變量分布的問題。漂亮的是，在經典模型裡 L 具有乾淨的結構：它以盈餘從不下跌的機率取零值，否則就是若干獨立的「紀錄性下跌」片段之和——一個複合幾何分布。

這一重新表述是精確與近似破產公式背後的引擎。由於 psi(u) = Prob(L > u)，研究破產就變成研究 L 的尾部，而複合幾何的形式讓精算師能乾淨地計算或界定它。它也給出了所需資本的生動詮釋：把初始盈餘持有得至少和 L 的某個高分位數一樣大，你就把破產變得可接受地罕見了。提醒與理論的其餘部分一致——這套整潔的結構屬於理想化的經典模型；一旦你加入利息、紅利或相依賠款，L 就失去其乾淨的複合幾何形態，必須靠模擬來研究。