Cramer-Lundberg 模型（克拉默-倫德伯格模型）

如果你想研究保險公司是否能生存，你需要一個乾淨的玩具世界，能在其中真正算出東西——簡單到可解，又豐富到有意思。Cramer-Lundberg 模型就是這樣一個玩具世界：破產理論的教科書起點，以一個世紀前構建它的兩位瑞典精算師命名。它描繪的是保費以穩定速率流入，而賠款在隨機時刻到來、每筆大小隨機，然後追問盈餘會變成什麼樣。

準確地說，這個模型作了三條乾淨的假設。保費以恆定速率 c 流入。賠款按泊松過程到來——意味著賠款在隨機時刻以恆定的平均速率（記為每年 lambda 次）彼此獨立地發生。而每筆賠款的大小都是從一個固定的賠款額分布中獨立抽取的。綜合起來，總賠款 S(t) 服從複合泊松分布，盈餘為 U(t) = u + c*t - S(t)。保費速率帶正附加設定，c = (1 + theta) * lambda * （平均賠款額），這使盈餘平均而言向上漂移。從這個整潔的設定中流淌出該模型的著名結論：調整係數與 Lundberg 不等式。

Cramer-Lundberg 模型之所以重要，是因為它是整個學科的概念骨架——幾乎每一個更現實的模型（賠款會集群、盈餘會賺利息、派發紅利）都被描述為它的一種修正。它的最大優點是可解性：你能推導出破產機率的閉式上界。它的最大侷限是現實性：真實的賠款到來會集群（想想一場冰雹一次性砸中成千上萬輛車）、真實盈餘會賺取投資收益、真實賠款額可能極其重尾。所以應把這個模型當作一面用以釐清思路的透鏡，而非字面的預測——即便它的精確數字不對，它關於附加與資本的教益依然成立。