Lundberg 不等式（倫德伯格不等式）
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計算保險公司有朝一日破產的精確機率通常很難——盈餘路徑能以無數種方式抖動和跳躍。Lundberg 不等式是一條漂亮的捷徑：它不給出精確答案，卻給出一個有保證的天花板，一個你能一行算出、真實破產機率永遠不會超過的簡單上限。一個你總能依靠的安全天花板。
準確地說，在經典的 Cramer-Lundberg 模型中，該不等式斷言無限時間破產機率滿足 psi(u) 至多為 e^(-R*u)，其中 u 是初始盈餘，R 是調整係數。慢慢地讀：隨著你堆上更多的起步資本 u，右邊呈指數式縮小，於是破產的天花板迅速下降。資本翻倍，上界就平方（1% 的上界變為至多 0.01%）。這個不等式也把 R 的角色顯現得淋漓盡致——更大的調整係數（更豐厚的附加、更溫順的賠款）讓衰減更陡、對任意給定的 u 都把天花板壓得更低。
這個不等式之所以重要，是因為它把一個棘手的問題變成了一條可用的經驗法則和一個資本目標。如果你想讓破產機率低於某個水平 p，只需把 u 選得足夠大、使 e^(-R*u) 至多為 p，即 u 至少等於（負的 log p）除以 R——一個乾淨的信封背面式資本要求。兩點誠實的提醒。第一，它只是一個上界；真實破產機率通常更小，所以按上界來配置資本是保守的。第二，更重要的是，這個上界要求 R 存在，而那要求賠款是輕尾的；對於重尾損失，指數式的天花板根本不成立，破產衰減得比 e^(-R*u) 慢得多。
在調整係數 R = 0.000004 下，某保險公司想讓破產機率低於 1%，就需要 e^(-R*u) 至多為 0.01，即 u 至少為 (-ln 0.01)/R = 4.6/0.000004 = 1,150,000 的初始盈餘。在該 u 處的真實破產機率略低於 1%——這個上界是一個安全的天花板。
psi(u) 至多為 e^(-R*u)：一行的上界，把資本轉化為破產的天花板。
它是一個上界，而非精確機率，並且只在 R 存在的輕尾賠款下成立。對於重尾賠款，指數式上界無效，而且危險地過於樂觀。