範數的等價性

範數的等價性是這樣一條定理：在有限維空間上，對於收斂、連續或開集這類問題，你選哪個範數都無所謂。任意兩個範數 ||.||_a 與 ||.||_b 是可比的：存在正常數 c 與 C 使得對所有 x 有 c ||x||_b <= ||x||_a <= C ||x||_b。每個範數都被另一個的常數倍夾住。

其後果是定性的穩健。在某一範數下收斂到零的序列在每個範數下都收斂到零；在一個範數下開的集合在所有範數下都開；在一個範數下連續的函數在所有範數下都連續。所以有限維中的拓撲與範數無關，你可以挑選讓證明最容易的那個範數。

證明本身就很有教益。任一固定範數的單位球面在有限維中是緊的（海涅-博雷爾），而任何另一個範數是其上的連續函數，因而在那裡取到正的最小值和有限的最大值——它們就是常數 c 與 C。維數有限正是在此處必不可少：在無窮維中範數一般不等價。

但對數值計算的告誡：等價不意味著實務中可互換。常數 c 與 C 可能大到 sqrt(n) 或 n，隨維數增長。所以儘管 1-、2-、inf-範數在某物是否收斂上一致，它們在誤差實際有多大上可能相差很大的倍數。當你報告一個界時，常數要緊。