積分的線性性

積分與構造新函數的兩種運算——函數相加與縮放——配合得很好。對和積分得到積分之和,而縮放一個函數其積分按同一倍數縮放。一言以蔽之,積分是一個線性映射——它與函數的代數運算可交換,正如人們期望一個求平均或累積的運算所應有的那樣。

確切地說,若 f 與 g 可積,a、b 為標量,則 af + bg 可積,且 (af + bg) 的積分等於 a 乘 f 的積分加 b 乘 g 的積分。等價地,可積函數之集是一個向量空間,而積分是其上的線性泛函。對複標量,這包括把 i 提到積分外。

線性性聽來顯然,但其證明是分層的:對簡單函數容易且直接,再經單調收斂推廣到非負函數,再經正部/負部的拆分推廣到帶符號與複值函數。一個微妙之處:非負函數積分的可加性,即 f+g 的積分等於 f 的積分加 g 的積分,必須在一般情形之前證明,而它本身依賴於收斂機制。