多元函數的極限（limit of a function of several variables）
在一元情形中，趨近一點只意味著從左邊或從右邊靠攏——只有兩條路。但對於二元函數 f(x, y)，點 (a, b) 位於平面之中，你可以從無窮多個方向走向它：沿直線、沿螺旋、沿拋物線，沿任何曲線。當 (x, y) 趨於 (a, b) 時 f 的極限，是那個無論你沿哪條路走進來都逼近的唯一數值 L。
確切地說，當 (x, y) -> (a, b) 時 f(x, y) 的極限等於 L，是指只要讓點 (x, y) 離 (a, b) 足夠近，就能把 f(x, y) 逼到任意接近 L——這裡的「近」用距離 sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) 來度量。關鍵詞是「每一條」趨近路徑。如果兩條不同的路徑給出兩個不同的目標值，那麼極限就不存在，毫無例外。正因如此，日常的捷徑——直接代入，或先對 x 取極限再對 y 取極限——可能悄悄騙你：累次極限可以存在，而真正的二維極限卻不存在。
這種微妙之處並非純理論。多元微積分後續的每個概念——連續性、偏導數與全導數、可微性——都建立在這個極限之上，所以一開始弄錯就會污染下游的一切。實踐中，你通過換成極座標來確認極限存在（令 r -> 0，檢查結果與角度無關），通過找到兩條互相矛盾的路徑來否定極限，常用的是 y = mx 與 y = x^2。
對於 f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)，沿 y = 0 趨於原點得到 0；沿 y = x 趨於原點得到 1/2。兩條路徑，兩個答案，所以在 (0, 0) 處極限不存在——儘管先令 x = 0 再令 y = 0（或反過來）都得到 0。
兩條直線路徑給出不同的值，是證明多元極限不存在最快的方法。
找到某一條路徑上的極限值為 L 什麼也證明不了——你必須排除每一條路徑。只有極座標（或 epsilon-delta 論證）才能確證極限存在；單條路徑只能用來否定。