極限的路徑依賴性（path dependence of limits）

想像你站在平面上的一點，從每個可以想到的方向走向一個目標點，並在抵達時觀察函數的高度。如果每位步行者報告的抵達高度都相同，那個共同的值就是極限。路徑依賴性是指步行者出現了分歧——走進同一點的不同路線給出不同的極限值——它是多元極限不存在的最常見原因。

路徑檢驗正是直接利用這一點。要趨於 (0, 0)，就代入一族過原點的曲線，比如 y = m x，再對剩下的單個變量求極限。若答案依賴於 m，那就完了：極限不可能存在，因為取不同斜率 m 會得到不同的值。直線並不總能暴露問題，於是下一件武器是拋物線 y = k x^2（它可能與所有直線都矛盾），而要乾淨地遍歷所有方向，則用極座標 x = r cos(theta)、y = r sin(theta) 並令 r -> 0：若結果仍含有 theta，則極限是路徑依賴的。

這正是多元極限之所以微妙背後的實用引擎。一條給出有限、看似一致答案的路徑絕不能證明極限存在——它只是未能否定而已。這種不對稱是徹底的：任一對壞路徑就能扼殺極限，而任何有限條好路徑都救不了它。這就是為什麼確立存在最終需要極座標或 epsilon-delta 估計，而否定存在則是這項工作中又快又令人滿意的部分。