勒讓德子流形（Legendrian submanifold）
/ luh-ZHAHN-dree-un /
接觸幾何有一個極大扭轉的超平面場，依其設計沒有任何大曲面能切向地穿過。但只要把子流形保持得夠小，你仍能找到始終切於超平面的子流形——維數恰為超平面的一半。這些極大切子流形就是勒讓德子流形，拉格朗日子流形的奇維接觸表親。三維空間中一個打結的勒讓德圓是其原型，而勒讓德紐結理論是普通紐結理論一個出人意料地豐富的精化。
精確地說，在接觸流形 (M^{2n+1}, xi = ker alpha) 中，子流形 L 是等向的，若它處處切於接觸超平面，即 T_p L 含於 xi_p，等價地 alpha|_L = 0。xi 的不可積逼使 dim L <= n。勒讓德子流形是維數達最大可能值 n 的等向子流形，所以 dim L = n = (1/2)(dim M - 1) 且 alpha|_L = 0。在標準接觸 R^3（alpha = dz - y dx）中，勒讓德是一條沿之 dz = y dx 的曲線——它在 z 方向的斜率被鎖定於其 y 座標——而投影到 (x, z)-平面（「前投影」）給出一條曲線，其尖點與交叉編碼了所有接觸資料。在辛化對應下，勒讓德是拉格朗日的接觸類比。
為何重要：勒讓德子流形是低維接觸拓樸的核心角色。S^3 中的勒讓德紐結帶有古典不變量（瑟斯頓-貝內坎數與旋轉數），外加來自勒讓德接觸同調（切卡諾夫-埃利亞什貝格微分分級代數）遠為精細的現代不變量，後者能區分光滑同痕但非勒讓德同痕的勒讓德紐結。它們也是帶勒讓德端點的擬全純曲線所被計數的邊界。一個提醒：「等向」與「勒讓德」在接觸幾何中的區別恰如辛情形——勒讓德是極大維數的邊界，而接觸三維流形中一般的曲線並非勒讓德（它得處處滿足 alpha|_L = 0），所以勒讓德性是個強的、非一般的條件，你總是只能在 C^0-小擾動後達成（勒讓德逼近）。
在標準接觸 R^3、alpha = dz - y dx 中，參數化為 x = t, y = 0, z = 0 的曲線是勒讓德的：沿之 dz = 0 且 y dx = 0，故 alpha = dz - y dx = 0。更有趣的是，勒讓德平凡結可在前投影（(x, z)-平面）中畫成一條恰有兩個尖點且無垂直切線的閉曲線；其瑟斯頓-貝內坎不變量計數接觸平面所誘導的標架，把它與光滑相同但接觸不等價的代表區分開來。
(R^3, dz - y dx) 中的勒讓德曲線滿足 dz = y dx；其前投影編碼接觸資料。
兩個勒讓德紐結可以光滑同痕卻非勒讓德同痕——勒讓德紐結理論嚴格細於光滑紐結理論。此外，等向（dim < n）與勒讓德（dim = n）是不同的；只有極大維數的積分子流形才稱為勒讓德。