接觸結構（contact structure）

辛幾何活在偶維中；它的奇維表親是接觸幾何。想像在奇維空間的每一點上有一個超平面——一個比整個空間低一維的傾斜平板——並讓這些平板從點到點扭轉得如此劇烈，以致沒有任何曲面能始終切於它們全部。那個不可能地扭曲的超平面場就是接觸結構。辛相空間的邊界、等能量面，以及任何流形的接觸元空間，都自然帶有一個。

精確地說，(2n+1) 維流形 M 上的接觸結構是一個超平面場（在每個切空間 T_p M 中光滑選定一個 2n 維子空間 xi_p），它是極大不可積的。局部上 xi = ker(alpha)，其中 1-形式 alpha 稱為接觸形式，而極大不可積條件是 alpha ^ (d alpha)^n 處處不為零——一個永不消失的頂次形式。這恰是弗羅貝尼烏斯可積條件 alpha ^ d alpha = 0 的反面，後者會使 xi 切於一個葉狀結構；此處扭轉強到極致。接觸形式並不唯一（把 alpha 乘以任何非零函數 f 給出相同的核 xi），所以結構是超平面場 xi，而 alpha 是輔助的選擇。標準模型是 R^{2n+1}，座標 (z, x_1, y_1, ..., x_n, y_n)，alpha = dz - sum y_i dx_i。

為何重要：接觸流形是辛流形自然的奇維邊界與能量面（接觸流形的辛化 M x R 是辛的），而接觸幾何有它自己的達布定理——所有接觸結構在局部都與標準模型完全相同，所以同樣沒有局部不變量。整體理論既豐富又出人意料：在三維中，接觸結構分裂成「緊」與「過扭」兩型，剛性截然不同（埃利亞什貝格的分類），而接觸流形上的雷布動力學正是關於閉軌道的韋恩斯坦猜想所在。一個常見混淆是接觸結構（超平面場 xi，幾何對象）與接觸形式（切出它的特定 alpha）之間的混淆；形式攜帶額外資料——最重要的是它釘住一個雷布向量場——那是赤裸的結構所沒有的。