複反三角函數（the complex inverse trigonometric functions）

在實數線上，由於 sin 與 cos 會重複，我們把它們限制在某個選定區間上以求反函數。在複平面上同樣的需求也出現，但由於三角函數是用指數函數構造的，它們的反函數可以用對數與平方根明白地寫出來，因而恰好繼承了這些多值函數的分支結構。

從 sin z = (e^(i z) - e^(-i z)) / (2 i) 出發，令 sin w = z。設 u = e^(i w)，方程變成二次式 u^2 - 2 i z u - 1 = 0，其解 u = i z + sqrt(1 - z^2) 導出 arcsin z = -i log(i z + sqrt(1 - z^2))。同理 arccos z = -i log(z + sqrt(z^2 - 1))，而 arctan z = (1 / (2 i)) log((i - z) / (i + z)) = (i/2) log((i + z)/(i - z))。反雙曲函數也是同類的表達式：arcsinh z = log(z + sqrt(z^2 + 1))、arccosh z = log(z + sqrt(z^2 - 1))、arctanh z = (1/2) log((1 + z)/(1 - z))。

由於每個公式都含有一個對數（通常還有一個平方根），每個都是多值的，你藉由為對數與方根選定分支來使其單值。分支點來自平方根或對數內部歸零之處：arcsin 與 arccos 的分支點在 z = 1 與 z = -1，而 arctan 的分支點在 z = i 與 z = -i（即 i + z 或 i - z 歸零處）。用主對數與主方根可得主值，之後 arcsin、arccos、arctan 在適當切開的平面上是貨真價實的全純函數。要記住的是：這裡並不需要任何真正新的東西。複反三角函數與反雙曲函數不過是披著三角名稱的對數與平方根，所以它們的支割線正是你已經理解的那種記帳。