複雙曲函數（the complex hyperbolic functions）

雙曲函數 cosh 與 sinh 是指數函數的另一對子女：cosh t = (e^t + e^(-t)) / 2，sinh t = (e^t - e^(-t)) / 2。在實數線上它們描述懸鏈與成長；在複平面上同樣的公式把它們延拓，而它們原來正是三角函數的化身。

對複數 z 定義 cosh z = (e^z + e^(-z)) / 2 與 sinh z = (e^z - e^(-z)) / 2。由於是用 e^z 構造的，它們是整函數，sinh z 的導數是 cosh z，cosh z 的導數是 sinh z，且恆等式 cosh^2 z - sinh^2 z = 1 成立。把它們的公式與三角公式相比，便揭示出乾淨的對照表：cos z = cosh(i z)、sin z = -i sinh(i z)，等價地 cosh z = cos(i z)、sinh z = -i sin(i z)。換言之，把輸入旋轉一個直角（乘以 i），就把三角的世界與雙曲的世界互換。這正是為什麼複正弦與複餘弦在離開實軸時指數增長：它們其實是側看的雙曲函數。

這張對照表能省下大量功夫。任何雙曲恆等式都是插入了 i 的三角恆等式，反之亦然，因此你永遠不必同時背兩張表。它也解釋了我們拆開 sin(x + i y) 與 cos(x + i y) 時出現的 cosh y 與 sinh y 因子：輸入的虛部正是直接餵給雙曲函數。雙曲函數也帶有由指數函數繼承而來、沿虛軸的 2 pi i 週期性。