複指數函數（the complex exponential）

在實數線上，e^x 是我們熟悉的成長曲線。我們希望能把一個複數 z = x + i y 代進去，仍然得到合理的結果。誠實的問題是：當指數帶有虛部時，e^z 到底是什麼意思？答案既是被迫如此、又十分優美，它把指數成長與旋轉綁在一起。

我們定義 e^z = e^x (cos y + i sin y)。可以這樣理解：實部 x 透過普通的實 e^x 控制大小，虛部 y 透過歐拉公式 e^(i y) = cos y + i sin y 控制角度。因此 |e^z| = e^x，arg(e^z) = y。例如 e^(1 + i pi/2) = e^1 (cos(pi/2) + i sin(pi/2)) = e * i = e i，是一個模為 e、指向正上方的複數。這個定義並非任意：它是唯一一個既保持 e^(a+b) = e^a e^b、又在實軸上與實 e^x 一致的連續延拓，而且正是冪級數 sum z^n / n! 所給出的結果。

複指數函數是複分析的引擎室。正弦、餘弦、雙曲函數與對數都由它定義，而它本身是典型的全純函數：處處可微，且導數等於自身。它最令人吃驚的特性，亦即在虛方向上的週期性，正是使其反函數（對數）成為多值函數的原因。