複對數（the complex logarithm）
實對數回答一個簡單的問題：我要把 e 升到幾次方才能得到這個正數？我們希望對複數輸入也有同樣的想法：log w 應該是一個複數 z，使 e^z = w。建立起來很直接；但使複對數真正成為新事物的關鍵在於：正確答案有無窮多個。
把 w 寫成極式 w = r e^(i theta)，其中 r = |w| > 0，theta 是 w 的一個輻角。我們要找 z = x + i y 使 e^z = e^x e^(i y) = r e^(i theta)。比對模得 e^x = r，故 x = ln r，即正數 r 的普通實自然對數。比對角度得 y = theta。但 theta 只能確定到相差 2 pi 的整數倍，因為指數函數以 2 pi i 為週期。所以完整答案是 log w = ln|w| + i(arg w + 2 pi k)，對每個整數 k 皆成立。實部被釘死；虛部則是一道相隔 2 pi 的無窮值梯。
因此在你做出選擇之前，log 並不是普通意義下的單值函數。各個零件都誠實而具體：ln|w| 是某個正數的真正實對數，arg w 是角度。新的成分是整數 k，它記錄你繞著原點轉了幾圈。也要注意 log 0 沒有定義，因為 |0| = 0 而 ln 0 沒有意義，這與 e^z 永不為 0 相吻合。要得到可用的單值函數，你要選取主對數，或更一般地，選取一個分支。
log(-1)：此處 |-1| = 1 故 ln|w| = 0，而 arg(-1) = pi + 2 pi k，所以 log(-1) = i(pi + 2 pi k) = ...、-i pi、i pi、3 i pi、...。驗證：e^(i pi) = -1。
負數的實對數不可能存在；-1 的複對數有無窮多個值，全為純虛數。
在你固定一個分支之前，不要把複數的對數當成單一個數來寫。像 log(ab) = log a + log b 這樣的恆等式只在相差 2 pi i 整數倍的意義下成立，並非恰好相等。