對數的一個分支（a branch of the logarithm）

主對數是選取單一值的一種方式，但它並不神聖；它唯一特別之處在於所用的那個特定角度範圍。對數的一個分支是更一般的想法：在某個區域上對 log z 所作的任何一致、連續、單值的選取，做法是在該區域上承諾採用對輻角的某一連續選取。

精確地說，在一個不含 0 的開集 D 上，log 的一個分支是 D 上的連續函數 L，使得對所有 D 中的 z 都有 e^(L(z)) = z。任何這樣的分支自動具有形式 L(z) = ln|z| + i theta(z)，其中 theta(z) 是 D 上對輻角的連續選取。這樣的分支自動全純，導數為 1/z。同一連通區域上的兩個分支相差一個常數 2 pi i k。主分支是其特例：區域是沿負實軸切開的平面，輻角取在 (-pi, pi] 中。你也可以改沿正虛軸切開，或採用 (0, 2 pi) 的範圍，得到同樣合法但不同的分支。

關鍵要求是連續且不自相矛盾。你總能在某一點挑出 log 的單一值；困難在於把這個選取連續地擴展到整個區域。這恰在區域不容許你繞原點轉圈時可行，因為繞圈迫使輻角增加 2 pi，與你的起始值矛盾。所以分支存在於任何避開 0 的單連通區域上，而實務工作就是選一個其割線與其在某個方便參考點處的值都適合你問題的分支。