複正弦與複餘弦的無界性（the unboundedness of complex sine and cosine）

在實數線上，cos x 與 sin x 是溫馴而有界的函數：它們從不離開 -1 與 1 之間的帶。人們很容易把這種直覺帶進複平面。千萬不可。複正弦與複餘弦劇烈地無界，而看清原因，是理解複延拓如何改變一切的良好第一課。

用 cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y，其中 z = x + i y。雙曲因子 cosh y 與 sinh y 隨 |y| 增大而指數爆炸：對大的 |y|，cosh y 約為 (1/2) e^|y|。因此沿虛軸直直往上走，z = i y，便得 cos(i y) = cosh y，飛奔向無窮。一個乾淨的估計是 |cos z| >= |sinh y| 與 |sin z| >= |sinh y|，所以兩者的模至少以 (1/2)(e^|y| - 1) 的速度增長。這些函數在任意有限高度的水平帶上有界，但在整個平面上無界。

這不是病態，而是被迫如此。劉維爾定理說有界的整函數必為常數。既然 cos z 與 sin z 是非常數的整函數，它們就不可能有界。同樣的論證說明了為什麼沒有任何非常數整函數能始終保持很小。實務上，這種無界性正是使留數計算奏效的槓桿：在上半平面的大半圓弧上，你能讓像 e^(i z) f(z) 這樣的被積函數消失，因為 e^(i z) 隨 y 增大而衰減；但你必須小心，因為 cos z 與 sin z 本身在那裡是增長的。