複數冪（complex powers）

我們透過反覆相乘知道 z^2 或 z^3 是什麼意思，但 z^i 或 2^(1+i) 又能是什麼？沒有辦法把 z 自乘 i 次。出路與定義像 2^pi 這種實數冪的辦法相同：把一切都繞道指數函數與對數。

對非零的 z 與任意複指數 a，定義 z^a = e^(a log z)。由於 log z 是多值的（帶有 +2 pi i k 的不確定性），一般而言 z^a 也是多值的：不同的 log z 選取給出的 z^a 值相差因子 e^(2 pi i k a)。要得到單一個數，你採用所選取的 log 分支；用主分支便得主值 z^a = e^(a Log z)。具體地，計算 z^a 的步驟：寫 z = r e^(i theta)，取 Log z = ln r + i theta（theta 為主輻角），乘以 a，再取指數。著名的 i^i 是個乾淨的試金石：Log i = i pi/2，故 i^i = e^(i (i pi/2)) = e^(-pi/2) = 0.2079...，是個實數（其他分支還有其他值 e^(-pi/2 + 2 pi k)）。

方根是指數 a 為整數倒數的特例：z^(1/n) = e^((1/n) log z) 在 k 取遍 0, 1, ..., n-1 時恰好給出 n 個相異的 n 次方根，之後值便重複。所以 n 次方根、平方根與立方根全都活在這一個定義之中。要當心：熟悉的法則 (z w)^a = z^a w^a 與 (z^a)^b = z^(a b) 一旦牽涉分支，可能相差一個因子 e^(2 pi i (整數) a)；要把這類恆等式當作需要做分支檢查的對象，而非自動成立。