複數冪何時為單值（when a complex power is single-valued）

既然 z^a = e^(a log z) 繼承了對數的多值性，自然要問：在什麼情況下，這種不確定性會自行消失，使得 z^a 不需任何分支選擇就是單一個數？答案完全取決於指數 a，而且有一條乾淨的規則。

不同的 log z 選取相差 2 pi i k（k 為整數），所以 z^a = e^(a log z) 的不同值相差因子 e^(a (2 pi i k)) = e^(2 pi i a k)。這個冪對所有 z 為單值，恰當此因子對每個整數 k 都等於 1，而這恰恰發生在 a 為整數時。若 a 是最簡分數 p/q，因子 e^(2 pi i (p/q) k) 恰循環取 q 個相異值，所以 z^(p/q) 是有限多值的，有 q 個值，正是 q 次方根的情形。若 a 是無理數或真正的複數（如 a = i），因子 e^(2 pi i a k) 取無窮多個相異值，所以 z^a 是無窮多值的。

於是有此層級：整數指數給出一個值（普通的冪）；有理指數 p/q 給出 q 個值（方根）；其他任何指數給出無窮多個。這就是為什麼 z^2 與 z^(-3) 是你可以自由操作的、貨真價實的單值函數，而 sqrt(z) 有兩個值、z^i 有無窮多個值。實務上的結論是：只有對整數指數，你才可以把 z^a 當作整個穿孔平面上的普通單值函數；否則你必須承諾一個分支（通常是主分支）並接受一條割線。