初邊值問題（initial-boundary-value problem）

想想加熱一根有限長的金屬棒。要知道它在所有後續時刻的溫度，你需要同時掌握兩種不同的資訊。你需要知道它從哪裡開始——t = 0 時沿著整根棒的溫度——也需要知道在實驗持續期間兩端發生什麼：它們是被浸在冰裡、被隔熱、還是向空氣散熱？初邊值問題恰恰把這些打包起來：有界區域上的一個 PDE，連同時間上的初始條件與空間上的邊界條件，一起被提出，使一個唯一的演化被確定。

具體而言，0 <= x <= L 上熱方程的初邊值問題像三條協同運作的陳述。內部的方程 u_t = k u_xx 說明熱如何移動。初始條件 u(x, 0) = f(x) 固定起始分布。邊界條件——比如 u(0, t) = 0 與 u(L, t) = 0（狄利克雷）、或隔熱兩端（諾伊曼）、或某個羅賓／週期選擇——固定所有 t > 0 時邊緣的行為。分離變數法的解法是猜 u(x, t) = X(x) T(t)，代入後除以 X T，使 x 部分必須等於 t 部分、且兩者都等於一個常數：邊界條件選定空間特徵函數 X_n，初始條件再透過選擇其展開係數來匹配。初始資料在時間上向前作用；邊界資料沿著空間的牆把解圍住。

這個區分之所以重要，是因為有界定義域上的演化方程恰恰是兩者都需要的那一類。純初始值（柯西）問題沒有牆——棒是無窮長的；純邊界值問題沒有時間——它是像拉普拉斯方程那樣的穩態。初邊值問題則是現實的混合：一個真實、有限的物體在時間中演化。而在初始分布與邊界值相遇之處，亦即角點 (x = 0, t = 0) 與 (x = L, t = 0)，兩組資料必須一致，否則解會在那裡產生不匹配——這就是相容性條件，它決定解能有多平滑。