初始條件（initial condition）
假設你想預測一杯熱咖啡如何冷卻，或一根被撥動的吉他弦如何運動。方程本身——比如熱方程 u_t = k u_xx，或波動方程 u_tt = c^2 u_xx——只告訴你系統隨時間前進所遵守的規則，卻無法告訴你從哪裡開始。初始條件就是系統在最初那一瞬間（時間 t = 0）的一張照片：它在那一個時刻把未知函數的值（對某些方程還包括它的變化率）在整個空間上釘死，使方程有一個確定的未來可以推演。
具體而言，對於在時間上是一階的方程（如熱方程），初始條件規定 u(x, 0) = f(x)：t = 0 時沿著棒的整個溫度分布。對於在時間上是二階的方程（如波動方程），你需要兩份起始資料，因為一個二階的時間 ODE 需要位置與速度兩者才能確定：u(x, 0) = f(x)（初始位移）與 u_t(x, 0) = g(x)（初始速度）。你必須規定的時間導數個數，恰好等於方程在時間上的階——正如一個 n 階 ODE 需要 n 個初始值。一旦照片（可能還有初始速度）被固定，PDE 就把這份資料往前推演。
初始條件之所以無可避免，是因為 PDE 不像代數方程那樣只有單一答案：它的通解含有任意函數，而不只是任意常數。熱方程被無窮多種溫度歷史所滿足；初始條件正是用來挑出與你真實實驗相符的那一個。一個常見的誤解是以為初始條件本身必須滿足方程——其實不必。它是自由資料，是你提供的輸入；解則是方程隨時間推進、由這份輸入建構出來的輸出。
對於棒 0 <= x <= L 上的熱方程 u_t = k u_xx，規定初始溫度 u(x, 0) = f(x) = sin(pi x / L)。方程隨後讓這個單一隆起平滑地衰減趨向零：u(x, t) = e^(-k (pi/L)^2 t) sin(pi x / L)。初始條件選定了形狀，方程選定了衰減。
初始條件提供 t = 0 的分布，PDE 提供其後的一切。
你需要幾個初始條件，由方程在時間上的階決定，而非在空間上的階：波動方程在時間上是二階，故需要初始位移與初始速度兩者；熱方程在時間上是一階，只需初始分布。