初始位移與初始速度

要讓一個波動起來，你必須回答兩個問題，而不是一個：此刻一切在哪裡，以及此刻它們移動得多快？吉他手撥弦（設定形狀，從靜止釋放）；鋼琴的琴槌敲擊（給平直的弦一個速度）。這就是波動方程所要求的兩件起始資訊——初始位移與初始速度。

因為波動方程 u_tt = c^2 u_xx 在時間上是二階的，它的解在 t = 0 需要兩個初始條件：u(x,0) = phi(x)，初始位移（弦的形狀），以及 u_t(x,0) = psi(x)，初始速度（每個點移動多快）。這兩者合起來就是柯西資料。比較一個常微分方程，如單一質點的 m x'' = -k x：因為是二階的，它需要起始位置以及起始速度。波動方程就是同樣的想法，散布到一整個連續的點上。只給 phi 而不給 psi，問題就欠定；在某一瞬間給定 u 與 u_t，就唯一地固定了整個過去與未來。

這兩件資訊扮演明顯不同的角色，達朗貝爾公式精確地顯示了如何不同。初始位移 phi 分裂成兩個高度減半的副本，剛性地行進並保持形狀。初始速度 psi 透過一個積分作用，這把它的效應散布到一個擴張的區間上，傾向留下一塊持久的平台而非一個行進的凸起。因此撥（形狀、零速度）與敲（零形狀、速度）聽起來與看起來都頗為不同——這就是為何撥動的吉他與敲擊的鋼琴有各自不同的音色。