振動的弦

波動方程究竟從哪裡來？最乾淨的答案是一根吉他或小提琴的弦。把一條細弦在兩個固定的栓之間拉緊，撥它，它就顫動。如果你對那條弦上一小段寫下牛頓定律，波動方程幾乎會自己冒出來。這就是啟動整個學科的原始問題（尤拉、達朗貝爾、白努利，十八世紀）。

以下用文字寫出推導。取弦上 x 到 x + dx 之間的一小段。弦的線密度為 rho，被張力 T 拉著。當弦彎曲時，兩端的張力略往不同方向拉，剩下的橫向合力與曲率 u_xx 乘上張力成正比。牛頓第二定律說（質量）乘（加速度）等於（力）：rho 乘 u_tt 等於 T 乘 u_xx。除以 rho 得到 u_tt = (T/rho) u_xx，這就是 c^2 = T/rho 的波動方程。所以波速由弦有多緊（T）與多重（rho）決定——越緊越輕就越快，這正是你調吉他的方式。

一旦加上兩個固定端（兩端在所有時刻 u = 0——一個邊界條件），弦就只能以稱為簡正模態的特殊圖樣振動，也就是純粹的樂音。最低的是基音；較高的是泛音。這個小問題是分離變數法、傅立葉級數、駐波與共振的完美第一個實驗場，而這些工具基本上都是為了理解它而發明的。同樣的推導用在繃緊的鼓膜上，就給出二維波動方程 u_tt = c^2 (Laplacian u)。