熱方程的初邊值問題（heat initial-boundary-value problem）
要預測一根金屬棒的溫度，你需要三樣東西：它服從的定律、它一開始長什麼樣、以及它兩端正在發生什麼事。只給熱方程是不夠的；熱方程的初邊值問題就是「方程＋初始條件＋邊界條件」的完整、適定的整套配方，它恰好鎖定唯一一段溫度歷史。
在區間 0 < x < L、時間 t > 0 上，問題是：解 u_t = k u_xx，搭配初始條件 u(x,0) = f(x) 告訴你各處的起始溫度，以及在 x = 0 和 x = L 兩端對所有時間各一個邊界條件。邊界條件有三種標準型。狄利克雷固定溫度本身，例如 u(0,t) = 0（一端泡在冰浴中）。諾伊曼固定熱通量，也就是空間導數，例如 u_x(0,t) = 0（一端隔熱，無熱進出）。羅賓把兩者混合，u_x + h u = g（一端依牛頓冷卻定律向環境散熱）。每端需要一個這樣的條件，再加上唯一一個初始條件，因為方程對時間是一階、對空間是二階。
為什麼恰好是這麼多資料？因為這才使問題在哈達瑪意義下適定：解存在、唯一、且連續依賴於資料。這裡保證唯一性與穩定性的正是最大值原理。資料數弄錯，問題就出毛病——太少就欠定，尤其不論你怎麼給資料，把它向時間倒著跑（逆向熱方程）都是不適定的。當邊界條件是齊次（為零）且常係數時，分離變數法能乾淨地解這個問題；否則要先平移到一個穩態，或對源項使用杜阿梅原理。
一根兩端固定在 0（狄利克雷）、初始分布為 f(x) 的棒：分離變數法把 f 展成傅立葉正弦級數，每一項各自衰減，於是 u(x,t) = sum b_n sin(n pi x/L) e^(-k(n pi/L)^2 t)。
狄利克雷兩端選出正弦級數；隔熱（諾伊曼）兩端則會選出餘弦級數。
邊界條件決定出現哪一族特徵函數（狄利克雷用正弦，諾伊曼用餘弦）。把錯的族對上邊界，級數就無法滿足條件。