熱方程（heat equation）

把一支熱湯匙放進一碗冷湯裡，熱會散開：湯匙變涼、附近的湯變暖，過一陣子整碗都變成同一個溫吞的溫度。熱方程就是這個「散開」過程的精確數學定律。它告訴你一個隨位置變化的溫度會如何隨時間演化——熱永遠從熱的地方流向冷的地方，把高低不平的起伏抹平。

用 u(x,t) 表示位置 x、時間 t 的溫度。一維熱方程是 u_t = k u_xx，其中 u_t 是溫度隨時間的變化率，u_xx 是對空間的二階導數，常數 k > 0 是熱擴散率（thermal diffusivity）。整個意義都藏在 u_xx 裡：若溫度曲線在某點向上彎（一個局部凹陷，u_xx > 0），該點就升溫；若向下彎（一個局部尖峰，u_xx < 0），該點就降溫。於是尖峰被削平、谷底被填滿，速率由 k 決定。在高維度，同樣的定律寫成 u_t = k Laplacian u，其中 Laplacian u = u_xx + u_yy + u_zz 衡量某點的 u 比周圍平均高出多少。

這是最典型的拋物型方程，也是三個模型 PDE 之一（另兩個是波動方程與拉普拉斯方程）。它不只談溫度：完全相同的方程也支配化學物質的擴散、影像的平滑、隨機遊走粒子的密度，以及選擇權的布萊克-修斯定價。它的招牌個性——瞬間平滑、無限傳播速度、不可逆性——在上述每個場景都會出現，這正是為什麼搞懂這一個方程能用得這麼廣。