拋物型（parabolic type）
在靜水中滴一點墨，或把一枚熱硬幣壓在冰冷的金屬片上，然後隨時間觀察：尖銳的點軟化、散開、模糊，毫不留情地平滑成均勻的灰。掌管這種隨時間流逝、不可逆之平滑化的方程，就是拋物型。它們恰好坐在平衡橢圓與傳播雙曲之間的刀鋒上——而這種居間的性格，在它們所做的一切之中都顯露無遺。
形式上，A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低階項）= 0 在某點為拋物型，當且僅當其判別式在該點 B^2 - AC = 0，即臨界值。定義原型是熱（擴散）方程 u_t = k u_xx。以 x 與 t 為兩個變數來看，二階導數中只有 u_xx 帶係數，所以主部是退化的——而這個退化正是此型別的指紋。恰好有一個實的特徵曲線族（此處是直線 t = 常數），不是雙曲情形的兩個，也不是橢圓情形的零個。關鍵在於，拋物型方程對時間變數是一階的，所以它需要一個時間上的初始條件，外加空間上的邊界條件。
拋物型方程的定性性格鮮明難以錯認：瞬時平滑化（粗糙甚至不連續的初始資料，在 t > 0 的那一刻就變得無窮平滑）、無限傳播速度（一個局部的熱源無論多微弱都會瞬間在各處被感受到——這是個誠實的理想化，因為真實的熱不會跑贏光速）、以及不可逆性（你無法把影片倒帶；逆熱方程是不適定的，因為從模糊的現在重建尖銳的過去，會把最細微的雜訊無界放大）。最大值原理與穩態極限（即相伴的橢圓型方程）使整幅圖像完整。
桿上的熱方程 u_t = k u_xx，在 t = 0 時各處溫度已知（初始條件），且兩端在之後所有時刻固定不變（邊界條件），就是拋物型問題的典範：一個唯一的解，平滑化並衰減趨向穩態。
拋物型＝不可逆的擴散：時間上的初始資料加上空間上的邊界資料，一個特徵族，瞬時平滑化。
等號 B^2 - AC = 0 是個邊界，而非舒適區：係數的任何擾動都可能把判別式撥向任一正負號；拋物型問題只在時間向前時才真正適定——向後推進是不適定的。