雙曲型（hyperbolic type）

撥動一根吉他弦，一個形狀沿著它奔跑；在峽谷裡拍手，聲音衝出去又回響；丟下一顆石子，漣漪以確定的速度散開。在這一切之中，擾動保持著它的身分並且行進——資訊沿著清晰的軌道以有限速度移動，資料中的一個折角仍是折角，而不會融化消失。屬於這個傳播、波動世界的方程就是雙曲型，三大家族中最具動態的一個。

形式上，A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低階項）= 0 在某點為雙曲型，當且僅當其判別式在該點 B^2 - AC > 0。相伴的二次型有雙曲線等位曲線，家族之名由此而來。定義原型是波動方程 u_tt = c^2 u_xx（以 t 與 x 為變數，u_xx 上 A = c^2、u_tt 上 C = -1、B = 0，故 B^2 - AC = c^2 > 0）。其標誌是有兩個相異的實特徵曲線族——對波動方程而言，是直線 x - ct = 常數 與 x + ct = 常數，左行與右行訊號沿之行進的軌道。改用沿這些特徵的座標，會把方程化為其最簡單的標準形，而沿著它們積分，正是達朗貝爾公式誕生的方式。

它的性格與熱方程恰恰相反：有限傳播速度（某一點的擾動無法越過它所能抵達的錐被感受到，這給出了真正的依賴域與影響域）以及不平滑化（奇異性不會被癒合，而是沿著特徵傳播——初始形狀中的一個角會永遠行進下去）。雙曲型方程是初始值（柯西）問題的天然歸宿：在 t = 0 指定位移與速度（方程對時間是二階的，所以它要兩份初始資料），未來便被決定。能量是被守恆而非耗散的，這是適定性與唯一性的技術引擎。