特徵族（characteristic families）
問題裡有些方向是特別的——一塊木板的紋理、高速公路的車道、漣漪實際遵循的路徑。對二階偏微分方程而言，特徵曲線正是這些特別的軌道：方程沿之化簡、訊號沿之行進、解可以橫越之而帶有折角的曲線。數一數有幾條實的，就等於說出了型別。
對 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低階項）= 0，特徵曲線是特徵常微分方程 A (dy)^2 - 2B (dx)(dy) + C (dx)^2 = 0 的解，它分解為 dy/dx = (B 加減 (B^2 - AC) 的平方根) / A。判別式的平方根決定有幾個實族存在：雙曲型（B^2 - AC > 0）給出兩個相異的實族（實而不等的斜率——對波動方程是 x - ct = 常數 與 x + ct = 常數）；拋物型（B^2 - AC = 0）給出一個重合的實族（兩斜率相同——對熱方程是直線 t = 常數）；橢圓型（B^2 - AC < 0）給不出任何實族（斜率為共軛複數，所以根本沒有實的特徵）。兩個、一個、零個——這個數目就是型別。
特徵不是帳目記錄；它們是解的物理骨架。沿著特徵，雙曲型方程化約為一個常微分方程，這正是特徵線法與達朗貝爾公式運作的方式。橫越特徵，解的二階導數可以跳躍，所以特徵正是奇異性與波前沿之傳播的曲線。而因為橢圓情形一條也沒有，橢圓型解便沒有任何可供粗糙性行進的優先方向——這恰恰是它們如此平滑的原因。一個方程的整體質感，就編碼在它帶有幾個特徵族之中。
對波動方程 u_tt - c^2 u_xx = 0，特徵常微分方程給出斜率 dx/dt = 正負 c，所以兩個特徵族是直線 x - ct = 常數 與 x + ct = 常數——正是達朗貝爾解中右行波與左行波的軌道。
數出實的特徵族個數，你就讀出了型別：兩個＝雙曲，一個＝拋物，零個＝橢圓。
這是一階偏微分方程特徵曲線的二階對應物，但在此它們成族出現、由判別式來計數；戲劇性的事實是橢圓型方程沒有任何實的特徵，這正是它們極度平滑的根源。