特徵座標（characteristic coordinates）
有時一個問題在你被給定的座標下看似無望，換到為它量身選的座標便變得輕而易舉——用一個傾斜橢圓自己的軸來描述它，方程便俐落收乾淨。特徵座標正是二階偏微分方程這樣一套量身打造的座標系：沿著特徵曲線鋪設的新變數，方程在其中達到標準形。它們是把方程化約為其型別模型背後的實務機制。
具體地說，假設某雙曲型方程的特徵常微分方程有兩個族，phi(x,y) = 常數 與 psi(x,y) = 常數。你定義新變數 xi = phi(x,y) 與 eta = psi(x,y)——各自恰好沿著一個特徵族為常數。用連鎖律改寫所有導數（u_x 與 u_y 變成 u_xi 與 u_eta 的組合，二階導數亦然）並代回，代數被安排成讓 u_xi xi 與 u_eta eta 項相消，只留下混合項：方程變成 u_{xi eta} +（低階項）= 0。對拋物型方程，唯一的特徵提供一個座標，你另選任一與之獨立的平滑座標；對橢圓型方程，特徵為共軛複數，故取 xi 與 eta 為它們的實部與虛部。
這些座標不只是個花招——它們揭露了方程真正的紋理。在特徵座標下，雙曲型解明顯地分裂成只依賴 xi 與只依賴 eta 的部分（左行者與右行者），依賴域變成一個簡單的座標矩形，沿著特徵的積分也直截了當。誠實的提醒：在變係數時，特徵會彎曲，新座標只在局部有效（且只在變數變換可逆處，即其雅可比不為零時），而對會改變型別的方程，這套構造在型別改變之處就失效了。
對 u_tt - c^2 u_xx = 0，令 xi = x - ct、eta = x + ct。連鎖律給出 u_tt = c^2(u_xi xi - 2u_xi eta + u_eta eta) 與 c^2 u_xx = c^2(u_xi xi + 2u_xi eta + u_eta eta)；相減後剩下 -4c^2 u_xi eta = 0，即 u_xi eta = 0。把兩個日常變數（x 與 t）換成兩個特徵變數（xi 與 eta），波動方程便成了小兒科。
特徵座標就是把方程帶往其標準形的那個明確的變數變換。
特徵座標作為實變數存在，僅當實的特徵存在時——亦即對雙曲型與（其中一個）拋物型方程；對橢圓型方程，自然的變數變換是複的，這就是為何要轉到實部與虛部。