特徵曲線（characteristic curve）

想像一階偏微分方程所在的 (x,t) 平面，並設想資訊實際傳遞所沿的特殊高速公路。特徵曲線就是其中一條這樣的公路：平面上一條路徑，沿著它偏微分方程簡化為常微分方程，於是解可以一步一步被追蹤，彷彿它就騎在這條曲線上。

對傳輸方程 u_t + c u_x = 0，特徵線是直線 x - c t = 常數；在每一條上，解 u 維持單一固定值，由該線起點處的初始資料決定。更一般地，過某點的特徵線是其方向由方程係數決定的曲線：對 a u_x + b u_y = c，特徵線滿足 dy/dx = b/a，而未知量 u 沿著它們前進、遵守 du/dx = c/a。它們是傳播的曲線——方程所承載訊號的世界線。

特徵線是一階偏微分方程的 X 光片。在它們扇形散開之處，資料被攤薄；在它們聚攏並相交之處，兩個不同的入射值抵達同一點，光滑解必然崩潰（震波）。對非線性方程，特徵線依賴於解本身，因此會彎曲、碰撞——這正是震波形成的方式。同一個詞，以相關的意義，也命名了用來分類二階偏微分方程的快速傳播曲線。