特徵常微分方程組（characteristic ODE system）
特徵線法承諾把一條偏微分方程換成幾條常微分方程。特徵常微分方程組就是那「幾條」的明文寫法：一組精確的耦合常微分方程，描述當你沿著特徵曲線（以通常記為 s 的輔助變數參數化）行進時，位置與解值如何一起移動。
對擬線性方程 a(x,y,u) u_x + b(x,y,u) u_y = c(x,y,u)，方程組為 dx/ds = a、dy/ds = b、du/ds = c。把它讀作逐點建構解曲面的食譜：從初始曲線上一點出發，前進 ds，這三條方程同時告訴你 x 如何移動、y 如何移動、解值 u 如何變化。前兩條方程在平面上描出特徵曲線；第三條把它抬升到正確的高度，隨著特徵線掃過而畫出解曲面。關鍵是，由於 a、b、c 可依賴於 u，這三條方程全部耦合、必須一起解——幾何與解值彼此交織。
這個方程組是一階偏微分方程的運算核心，是你實際去積分的對象。不同的一階問題只在函數 a、b、c 上有別（而對完全非線性方程，則是一個更長、還追蹤梯度的方程組——特徵帶方程）。當方程組能以封閉形式積分時，你得到精確解；不能時，它仍告訴你傳播的幾何，並成為沿特徵線推進的數值格式的基礎。
對 u_x + u_y = u 且 u(x,0) = sin x，方程組為 dx/ds = 1、dy/ds = 1、du/ds = u。於是 x = x0 + s、y = s、u = sin(x0) e^s。消去 x0 = x - y 與 s = y 得 u(x,y) = sin(x - y) e^y——一個直接從積分後的特徵線讀出的封閉形式解。
三條小小的常微分方程，積分後再消參數，就把偏微分方程的解交到你手上。
輔助參數 s 是沿每條曲線的記帳變數，不是偏微分方程本身的變數；你對 s 積分，然後消去它以回到 x 與 y。對完全非線性方程，方程組必須擴大以同時演化導數 p = u_x 與 q = u_y。