擬線性一階方程（quasilinear first-order equation）

擬線性一階方程比線性方程狂野了一級。一階導數仍以線性方式出現——沒有 u_x 的平方、沒有兩個導數的乘積——但它們的係數現在被允許依賴於未知量 u 本身。僅僅這一處放寬，就讓方程能對自己的解產生回饋，並打開了通往真正非線性行為（如震波）的大門。

一般形式為 a(x,y,u) u_x + b(x,y,u) u_y = c(x,y,u)。對照線性情形 a(x,y) u_x + b(x,y) u_y + ...，其中係數從不看 u；這裡 a 與 b 可以。特徵線法仍然有效，方程組依舊是 dx/ds = a、dy/ds = b、du/ds = c——但現在前兩條涉及 u，所以特徵曲線不再事先固定；它們的方向取決於所承載的解值。你必須把位置與值一起積分。在幾何上，方程說向量 (a, b, c) 在每點與解曲面相切，於是曲面是由那些隨所達高度 u 而彎曲的特徵曲線編織而成。

由於特徵線依賴於 u，快的會追上慢的並碰撞，在它們相交之處光滑解必然崩潰——這正是一個逐漸變陡的波形成震波的方式。因此擬線性方程是 Burgers 方程、車流模型與守恆律存身的最簡單場景，也是你首次需要弱解與熵條件，以便越過崩潰繼續下去的地方。