特徵線法（method of characteristics）
解偏微分方程之所以困難，是因為未知量同時在好幾個方向上變化。特徵線法是一個漂亮的技巧，對一階方程而言能繞開這個困難：它在定義域中找出特殊路徑——特徵曲線——沿著這些路徑，偏微分方程變成常微分方程。接著你解常微分方程（這你已經會了），再把答案重新編織起來。
以 u_t + c u_x = 0 為例。假設你沿著曲線 x(t) 行走，選定它使 dx/dt = c。那麼你一路看到的 u 值，記為 U(t) = u(x(t), t)，其變化率為 dU/dt = u_t + (dx/dt) u_x = u_t + c u_x，由方程知這恰為零。所以 u 沿每條這樣的路徑（特徵線）保持常數。這些路徑是直線 x = x0 + c t；在每條上 u 維持它起點的值 u = f(x0)。反解 x0 = x - c t 即得 u(x,t) = f(x - c t)。對一般方程 a(x,y,u) u_x + b(x,y,u) u_y = c(x,y,u)，做法相同：寫下特徵常微分方程 dx/ds = a、dy/ds = b、du/ds = c，解出它們，解曲面就是所得曲線的聯集。
這單一概念是整個一階理論的引擎，且其迴響遠不止於此。它精確告訴你初始資料如何傳播（以及以何速度），揭示光滑解何時、為何崩潰（當特徵線相交時），而它的二階表親——作為快速傳播曲線的特徵線——驅動了橢圓／拋物／雙曲的分類。甚至力學與光學中的漢米頓-雅可比方程也由特徵線求解，在那裡稱為射線或雙特徵線。
解 x u_x + y u_y = u，且在單位圓上 u = 1。特徵常微分方程 dx/ds = x、dy/ds = y、du/ds = u 給出 x = x0 e^s、y = y0 e^s、u = u0 e^s。消去 s 可知 u 只是半徑的純量倍數：圓上的資料沿射線被往外帶。
沿每條射線的三條常微分方程取代了一條偏微分方程——然後你把這些曲線縫成一個曲面。
此方法要求資料曲線必須是非特徵的——它必須橫越特徵線，而不能沿著一條特徵線跑——否則柯西問題無解（或不唯一）。而一旦特徵線相交，它所建構的光滑解便不再存在；你必須轉而使用弱解。