特徵線相交（crossing characteristics）

特徵線法靠沿曲線承載值來建構解，一條曲線一個值。整套方案立基於一個不言而喻的假設：那些曲線中沒有任兩條會相遇。當兩條特徵線相交，它們帶著兩個不同的值抵達平面上同一點，解被要求同時是兩個數。它做不到——光滑解便在那裡死去。

對特徵線固定的線性方程，這很少咬人：特徵線單由係數鋪設，通常乖乖地彼此分開。麻煩出在非線性（擬線性）方程，其中承載值 u0 的特徵線的速度依賴於 u0 本身。波較高的部分便比它後方較矮的部分跑得快；快特徵線追上慢的，兩者相交。在首次相交時刻之前，古典解沒問題；到相交時刻，波已陡峭到垂直，建構溢出了。想像路上兩輛車，後車較快：它終究追上前車——那次相遇就是相交。

特徵線相交是震波形成的幾何診斷。它告訴你守恆律的光滑解首次崩潰的確切時間與地點，在那之後，單值的古典解根本不存在。要繼續下去，你必須拓寬「什麼算是解」——拓到弱解——並加上熵條件以挑出物理上正確的那一個。同樣的相交也解釋了梯度爆破：當特徵線匯聚，解的斜率在它們相遇前一刻飆向無窮。