一階偏微分方程與特徵線法
梯度爆破（gradient blow-up）
一個解可以始終有界——從不長高——卻仍然變壞，因為它的斜率失控。梯度爆破正是這種失敗：解值 u 本身保持有限，但它的空間導數 u_x 在有限時間內無界地增長，於是原本和緩的斜坡陡峭成一面垂直的牆。想像一道海浪，高度不變，卻越來越向前傾，直到它的前緣陡直。
在非線性一階方程中，這之所以發生，是因為特徵線匯聚。沿著傳輸型方程，每條特徵線承載一個固定值；當承載著略微不同值的相鄰特徵線被擠得越來越近，u 在一段縮小距離上的變化——也就是 u_x——必然增長。當特徵線在時間 t* 趨近它們的首次相交，彼此間距塌縮為零，u_x 如 1/(t* - t) 般飆向無窮。解在整段時間裡始終有界；爆掉的只有梯度。t* 之後，原本想成為解的東西將是多值的，這對圖形而言不可能，於是古典解就此不復存在。
梯度爆破是特徵線相交的分析孿生子：同一事件，兩種視角。幾何上特徵線相遇；分析上導數發散。它是光滑非線性波變成震波的精確機制，也是非線性守恆律無法永遠保持古典的原因。認出它，就知道對光滑解再怎麼小心也無法越過 t*——你必須更換框架，轉向帶熵條件的弱解。
對 u_t + u u_x = 0 且 u(x,0) = -arctan(x)（遞減），來自資料較陡區域的特徵線匯聚得最快。中心處的斜率 u_x 表現如 1/(t* - t)，在首次相交時間 t* 爆破，而 u 本身整段時間都保持在固定界限之間。
值有界、斜率無界：波恰在特徵線相遇之際傾向垂直。
別把梯度爆破和解值爆破混為一談。此處 u 保持有界；發散的只有它的導數。（某些別的非線性偏微分方程確實會在值上爆破——有限時間爆破——但那和這裡的梯度災變是不同的現象。）
又稱
另見