有限時間爆破（finite-time blow-up）
多數線性偏微分方程都很溫馴：熱方程冷卻、波動方程守恆能量，解都能快樂地存在於所有時間。非線性偏微分方程則可能更狂野。有時候一個起初平滑且有界的解，會愈長愈快，直到在某個有限時刻 T 變成無窮——解確確實實在 T 之後就不再存在。這就是有限時間爆破，而辨認它何時發生（以及何時不可能發生），是非線性偏微分方程理論的核心問題之一。
最乾淨的模型是半線性熱方程 u_t = Laplacian u + u^p，其中 p > 1 且初始資料為正。擴散（Laplacian u）試圖把解鋪開並冷卻，但反應項 u^p 會以自己為食：u 大的地方 u^p 更大，於是灌入更多。當 p > 1 時反應可能勝出。暫且忽略擴散，只解常微分方程 u' = u^p：分離變數得 u(t) = (u_0^(1-p) - (p-1) t)^(-1/(p-1))，它在有限時刻 T = u_0^(1-p) / (p - 1) 達到無窮。完整的偏微分方程繼承了這點：對夠大或夠集中的資料，解會爆破；而對小資料，擴散勝出、解衰減為零。這兩種命運之間的分界，由臨界指數所支配（特別是 n 維空間中的 Fujita 指數 p_F = 1 + 2/n）。爆破可以是「整體的」（u 處處變大），也可以集中在某一點。
為什麼重要？爆破是非線性偏微分方程告訴你「模型已達極限」的方式——有限時間奇異性往往標誌著一個真實的物理事件（火焰點燃、重力塌縮、化學失控），或建模假設的崩潰。它也迫使我們在這門學科的核心做出誠實的承認：對許多重要的非線性方程而言，平滑解究竟對所有時間都存在、還是會爆破，是真正「未解」的。三維那維-斯托克斯正則性問題，問的正是平滑解會不會爆破，而那是一個尚未解決的千禧年大獎問題。
取純常微分方程 u' = u^2（即 p = 2 的反應、無擴散），從 u(0) = 1 出發。分離變數得 u(t) = 1/(1 - t)，它在 t = 1 之前都沒問題，到那時便衝向無窮——在 T = 1 爆破。在完整的偏微分方程 u_t = u_xx + u^2 中，一個夠高的初始隆起即使有擴散冷卻也會如此，而一個又小又低的隆起則只會鋪開並衰減。
當反應勝過擴散，解便在有限時間內達到無窮。
爆破並非數值假象，也不是求解器的失誤——它是方程本身的真實性質。對許多非線性偏微分方程（最著名的是三維那維-斯托克斯）而言，誠實的立場是：整體平滑解究竟存在還是爆破，乃是一個「未解」問題。