那維-斯托克斯千禧年大獎難題（Navier-Stokes Millennium Prize problem）

這裡有一個聽起來似乎早該解決、卻並未解決的問題，並且帶著一百萬美元的獎金：若你以完全光滑、有限能量的初始條件開啟三維流動，讓那維-斯托克斯方程永遠運行下去，解是否對所有時間都保持光滑與有限——還是可能自發爆破，在有限時間內於某點出現無限大的速度？沒有人知道。這是克雷數學研究所於 2000 年提出的七個千禧年大獎難題之一。

精確地說，問題要求對全空間（或週期盒）上的三維不可壓縮那維-斯托克斯方程，在給定光滑、快速衰減的初始資料且無外力的情況下，證明或否證整體存在性與光滑性。已知的結果使這道鴻溝更為清晰：在二維中，答案是肯定的——解永遠光滑（拉迪任斯卡婭）。在三維中，弱解對所有時間存在（勒雷，1934），但可能不唯一或不光滑；而光滑解只已知在短時間內存在且唯一，或在初始資料夠小時對所有時間存在。被懷疑的危險是渦線拉伸，這個純三維機制原理上能讓渦度無界地堆積。比爾-加藤-馬伊達指出，若爆破發生，必伴隨最大渦度的時間積分變為無限大。

為什麼一個我們每天用模擬繞過去的問題如此重要？因為「否」（有限時間奇異性）將意味著方程本身作為現實模型失效，而「是」則需要我們目前並不擁有的、針對非線性偏微分方程的全新數學。它是「物理學中最常用的方程仍未被完全理解」這一事實最尖銳而誠實的陳述。同一問題的尤拉方程（無黏性）版本同樣未決，甚至可說更難。