那維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）
/ nah-vee-AY STOHKS /
想像河中流動的水、蠟燭上裊裊上升的煙、或掠過機翼的氣流。這些全都是流體帶著自己前進——被壓力推動、被自身內部的黏滯性拖拽、被重力或其他力攪動。那維-斯托克斯方程正是這一切的總規則手冊：它告訴你流體在每一點、每一瞬的速度必須如何變化，才能讓質量與動量守恆。可以說它是整個應用數學中最重要的一組偏微分方程。
以 u(x, t) 表示流體在位置 x、時間 t 的速度向量，p 表示壓力。對不可壓縮流體（密度 rho 為常數，如日常速度下的水）方程為：rho (u_t + (u dot grad) u) = -grad p + mu Laplacian u + f，外加不可壓縮條件 div u = 0。逐項閱讀動量方程：u_t 是局部加速度；(u dot grad) u 是非線性對流項，即流體攜帶自身動量——這正是惹麻煩的源頭；-grad p 是壓力差造成的推力；mu Laplacian u 是動量的黏性擴散，mu 為黏度；f 為任何體積力。約束 div u = 0 是不可壓縮流體的質量守恆。把黏性項丟掉（令 mu = 0）便得到理想無摩擦流體的尤拉方程。
這組方程支撐著天氣預報、飛機與汽車設計、血流、海洋環流以及電漿。困難、美麗而又危險之處在於那個非線性項 (u dot grad) u：它把不同尺度耦合起來，把能量從大渦旋餵給小渦旋，正是湍流的根源。也正因為它，在三維中沒有人知道光滑解是否永遠保持光滑、還是可能在有限時間內爆破——這個未決問題就是克雷數學研究所的千禧年大獎難題之一。於是我們每天極為成功地使用這組方程，而關於它的一個根本問題卻仍然真正懸而未決。
對蜂蜜（黏度很高，mu 很大）而言，mu Laplacian u 項占主導，非線性項 (u dot grad) u 幾乎無關緊要，流動光滑而可預測。對高速氣流（相對於慣性，mu 實際上極小）而言，非線性項占主導，於是出現湍流。同一組方程描述兩者——改變的只是哪一項勝出，這由雷諾數刻畫。
同一組方程、相反的行為，取決於哪一項占主導。
常被引用的形式是針對不可壓縮、黏度為常數的牛頓流體；真實空氣可壓縮、真實液體也可能是非牛頓流體，因此日常所說的那維-斯托克斯方程本身已是含假設的模型，並非定論。