平滑效應（smoothing effect）

拿一個鋸齒狀、帶尖刺的溫度分布——甚至帶有角點或跳躍——讓熱方程作用最短的一瞬間。鋸齒不見了。時間一往前走，分布就變得完美平滑，具有各階導數，無論它起初多粗糙。這就是擴散的平滑（或正則化）效應。

具體地說，柯西解 u(x,t) = integral of G(x - y, t) f(y) dy 是資料 f 與熱核 G 的卷積。核 G 是高斯函數，屬於 C-無窮（無限可微），事實上還是實解析的。卷積會繼承較平滑那一因子的平滑度：即使 f 只是有界、或帶跳躍，與無限平滑的高斯做積分，對每個 t > 0 在 x 上都是無限平滑的——而且還是解析的。也可以從傅立葉模態看：粗糙的資料之所以粗糙，是因為它含有大量高頻成分，而熱方程以速率 e^(-k n^2 t) 殺死頻率 n 的模態。對任何 t > 0，這些高頻部分被指數級壓垮，剩下一個平滑函數。平滑是瞬間的：沒有等待期，平滑在每個正時間都出現。

這是 PDE 各型之間最深刻的區別之一。拋物型方程會平滑；像波動方程這樣的雙曲型不會——在那裡，資料中的奇異點沿特徵線永遠傳播，一個尖角始終是尖角。平滑效應是熱方程被用作去噪與影像模糊的基礎、它不可逆性的根源（你已丟棄細節，所以無法重建粗糙的過去）、以及拋物型 PDE 正則性理論的核心。提醒：平滑是向前時間的祝福、向後時間的詛咒——因為關於精細結構的資訊被摧毀，逆向熱方程是不適定的。