傅立葉模態的衰減（decay of Fourier modes）
把一個溫度分布拆成它純粹的波狀成分——一個長而平滑的波、一個有兩個隆起的波、一個有三個的波，依此類推——再餵給熱方程。波折多的快速消退，平滑的則持久。傅立葉模態的衰減就是這個事實：在熱方程下每個正弦波都指數衰減，而且波折越多，死得越快。
在長 L、兩端固定為零的區間上，分離變數法告訴你基本構件解是 sin(n pi x / L) e^(-lambda_n t)，衰減率為 lambda_n = k (n pi / L)^2。關鍵在這裡：lambda_n 隨 n^2 成長。所以基頻模態（n = 1）衰減慢，第二諧波快四倍，第三諧波快九倍。一般解是傅立葉正弦級數 u(x,t) = sum b_n sin(n pi x / L) e^(-lambda_n t)；隨時間推移，高 n 項幾乎立刻消失，存活下來的由最慢、最平滑的模態 n = 1 主導。走一遍流程：你從初始資料求出 b_n，每一項各自獨立地乘上自己的衰減指數（疊加），而指數中的 n^2 就是先壓垮細節的引擎。
這一個事實就解釋了熱方程的整個個性。平滑效應正是高頻模態的快速死亡（尖銳特徵由高諧波組成，所以瞬間被抹平）。趨近穩態是最低模態的緩慢存活。而把時間倒著跑是災難性的，因為指數變成 e^(+lambda_n t)，高模態爆炸——這正是逆向熱方程不適定的原因。提醒：n^2 律是針對這些好區間上乾淨的三角特徵模態；在其他區域特徵值的細節不同，但定性順序（越粗糙衰減越快）永遠成立。
從 u(x,0) = sin(pi x/L) + 0.5 sin(5 pi x/L) 出發。五隆起的部分衰減快 25 倍，所以幾乎立刻你就看到一個乾淨的單峰，再慢慢淡向零。
衰減率隨 n^2：n=5 模態比 n=1 死得快 25 倍。
指數帶的是 n^2，不是 n——這個二次方正是擴散如此猛烈抹去細節、以及時間反演會爆炸的原因。常見的失誤是以為衰減只是隨 n 指數化；它是隨 n 平方乘 t 指數化。