平滑化性質（smoothing property）

用你能畫出的最醜的溫度分布來啟動熱方程——滿是鋸齒尖角、跳躍，甚至是一個處處不可微的分布。等任意一個正的瞬間。溫度現在完美光滑：無窮可微，尖角全消、跳躍全癒。擴散不只是不製造粗糙——它主動摧毀交給它的粗糙，而且是瞬間完成。這就是平滑化性質，拋物型方程最具代表性的單一行為。

它是怎麼運作的？熱方程的解是初始資料與熱核的卷積，熱核是一個隨時間擴散的光滑高斯隆起。把任何東西——再粗糙也罷——和一個光滑函數卷積，結果都是光滑的，因為導數可以被移到光滑的核上。等價地，用傅立葉語言講，頻率 xi 的每個模態都按 e^(-k xi^2 t) 衰減：頻率越高，被壓抑得越猛烈，而高頻正是編碼尖銳特徵的東西。任何 t > 0 之後，高頻內容已被壓碎，於是解是光滑的。橢圓方程以靜態方式平滑（調和函數在內部自動解析）；拋物方程則在時間上平滑，演化一開始就把粗糙的初始資料變光滑。

兩個誠實的後果。第一，平滑是有代價的：它不可逆。你無法把它倒著跑，因為從平滑掉的結果重建原本的鋸齒資料，需要用 e^(+k xi^2 t) 放大高頻，那會爆掉——這正是倒退熱方程不適定的原因。第二，平滑化與無限傳播速度繫在一起：同樣那種瞬間的混合既平滑又把影響一下子鋪到處處。波動型（雙曲型）方程則相反——它們保持奇異性、速度有限，所以雙曲型解不會比它的資料更光滑。