奇異性傳播（propagation of singularities）

把吉他弦猛地一撥，讓它帶上一個折角，然後放手。折角不會融化消失——它分裂並行進，以波速沿著弦騎乘，保持和起初一樣尖。這與熱方程的瞬間癒合恰好相反。對波動型（雙曲型）方程而言，資料中的奇異性不會被平滑；它被往前帶，而且沿著非常特定的路徑移動。搞懂那些路徑，就是奇異性傳播。

精確地說：對波動方程 u_tt = c^2 u_xx，達朗貝爾公式把解寫成一個右行部分 f(x - c t) 加一個左行部分 g(x + c t)。若初始分布在某點有折角，這個折角就只是沿著特徵線 x - c t = 常數與 x + c t = 常數滑行，絕不模糊。由微局部分析精確化的一般原理是：雙曲型方程的解的奇異性沿著特徵線（更精確地說，沿著相空間中的雙特徵射線）行進——正是那些用來分類方程、攜帶其資訊的曲線。資料本來光滑之處，解保持光滑；有波前之處，那波前就傳播。這就是為什麼你能隔著房間聽到一聲清脆的拍掌仍是清脆的：波動方程拒絕把它磨圓。

與擴散的對比正是重點，也是一個真正的定性二分。拋物與橢圓方程瞬間平滑、速度無限；雙曲型方程保持奇異性、速度有限為 c。所以奇異性的位置告訴你物理的型別：一個持續且移動的不連續是波；一個立即消失的則是擴散。誠實提醒：非線性雙曲型方程還能更進一步——它們能「製造」原本不在光滑資料裡的奇異性（震波），之後就需要弱解與一個熵條件。