無窮等比級數

無窮等比級數把一個等比數列的無窮多項加起來：a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，沒有最後一項。出人意料的是，當每一項相對前項足夠小時，這個無盡的和仍可能逼近一個有限的數。

它恰好在公比滿足 |r| < 1 時收斂；此時和為 S = a_1 / (1 − r)。原因在於有限求和公式中的 r^n 隨著 n 增大而趨向 0，於是 S_n = a_1·(1 − r^n)/(1 − r) 趨向 a_1 / (1 − r)。

若 |r| ≥ 1，各項不趨向 0，部分和始終不穩定，級數發散——它沒有有限的和，因此不能套用該公式。經典的圖景是 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，其累計總和越來越接近 1。