等比級數

等比級數是等比數列各項之和——把一列每項都是前項固定倍數的數加起來。例如 1 + 2 + 4 + 8 + 16 就是把一個翻倍數列的前幾項相加。

前 n 項之和有一個簡潔的封閉公式：S_n = a_1 · (1 − r^n) / (1 − r)，只要 r ≠ 1 就成立。其背後的技巧是把整個和乘以 r 再相減，這會消去幾乎所有的項。（若 r = 1，則每項都等於 a_1，於是和就是 n · a_1。）

這個公式讓你不必逐項相加，並且是從貸款還款到 |r| < 1 時無窮等比級數求和等一切問題的基礎。注意指數：它是 r^n，而不是 r^(n−1)，儘管第 n 項本身用的是 r^(n−1)。